Question

13．已知函数f（x）=lnx-e^x+m在x=1处有极值，求m的值及f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求导f′（x），从而令f′（1）=0，从而求m再检验即可；讨论以确定导数的正负，从而求函数的单调区间

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-{e^{x+m}}$，
由函数f（x）=lnx-e^x+m在x=1处有极值，可得f'（1）=1-e^1+m=0，
解得：m=-1，从而$f'（x）=\frac{1}{x}-{e^{x-1}}$，
显然f'（x）在（0，+∞）上是减函数，且f'（1）=0，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数极值的求法，是中档题．