Question

13．已知（1+2x）ⁿ的展开式中各项的二项式系数和为a_n，第二项的系数为b_n．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，可得a_n，b_n；
（2）求得a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）（1+2x）ⁿ的展开式中各项的二项式系数和为a_n，第二项的系数为b_n．
可得a_n=2ⁿ，b_n=2${C}_{n}^{1}$=2n；
（2）a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹，
则前n项和S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
两式相减可得，-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²，
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化简可得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．