Question

5．已知函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$（a为常数且a＞0）在定义域上为奇函数，则函数f（x）的值域为（-1，1）．

Answer 1

分析 根据题意，求出f（-x），由函数的奇偶性的性质可得$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$=-$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，解可得a=1；即可得函数f（x）的解析式为y=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，对函数的解析式变形可得e^x=$\frac{1-y}{1+y}$，由指数函数的性质分析可得$\frac{1-y}{1+y}$＞0，解可得y的范围，即可得函数的值域．

解答 解：根据题意，函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，则f（-x）=$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$=$\frac{a-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{a}{{e}^{x}}}$=$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$，
又由函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域上为奇函数，
则有$\frac{a{e}^{x}-1}{a+{e}^{x}}$=-$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，
解可得a=1；
即函数的解析式为y=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，
变形可得e^x=$\frac{1-y}{1+y}$，
又由e^x＞0，则有$\frac{1-y}{1+y}$＞0，
解可得-1＜y＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1）；
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，注意由奇函数的特殊性质求出a的值．