Question

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=2cos（A-$\frac{π}{6}$）cos（A+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$≤a，求2a-c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）cos2A-cos2B=2cos（A-$\frac{π}{6}$）cos（A+$\frac{π}{6}$）．根据两角和与差的正、余弦公式可得：2sin²B-2sin²A=2$（\frac{3}{4}co{s}^{2}A-\frac{1}{4}si{n}^{2}A）$，整理可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（II）由正弦定理把a，c用角A，C表示，通过三角恒等变换化成正弦型函数g（A）=2$\sqrt{3}$$sin（A-\frac{π}{6}）$，结合角A的范围，求得2a-c的取值范围．

解答 解：（I）cos2A-cos2B=2cos（A-$\frac{π}{6}$）cos（A+$\frac{π}{6}$）．
根据两角和与差的正、余弦公式可得：2sin²B-2sin²A=2$（\frac{3}{4}co{s}^{2}A-\frac{1}{4}si{n}^{2}A）$，
整理可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0，π）．
故B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（II）因为b≤a，所以B=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
得a=2sinA，c=2sinC，
2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin$（\frac{2π}{3}-A）$
=3sinA-$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$$sin（A-\frac{π}{6}）$，
因为b≤a，所以$\frac{π}{3}$≤A$＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$≤A-$\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{2}$，
所以2a-c∈$[\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数的单调性值域、和差公式倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．