Question

20．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：°C）的数据，如下表：

x	2	5	8	9	11
y	12	10	8	8	7

（1）求出y与x的回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数$\overline x$，σ²近似为样本方差s²，求P（3.8＜X＜13.4）．
附：①回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x\overline{y}}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
②$\sqrt{10}$≈3.2，$\sqrt{3.2}$≈1.8．若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据$\widehat{b}$的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；
（3）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+5+8+9+11）=7，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（12+10+8+8+7）=9．
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4+25+64+81+121=295，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=24+50+64+72+77=287，
∴$\widehat{b}$=$\frac{287-5×7×9}{295-5×72}$=-0.56，
$\widehat{a}$=9-（-0.56）×7=12.92．
∴回归方程为：$\widehat{y}$=-0.56x+12.92．
（2）∵$\widehat{b}$=-0.56＜0，∴y与x之间是负相关．
当x=6时，$\widehat{y}$=-0.56×6+12.92=9.56．
∴该店当日的营业额约为9.56千元．
（3）样本方差s²=$\frac{1}{5}$×[25+4+1+4+16]=10，
∴最低气温X～N（7，10），
∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，
∴P（10.2＜X＜13.4）=$\frac{1}{2}$（0.9544-0.6826）=0.1359．
∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，数值预测，正态分布，属于中档题．