Question

11．已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD⊥平面AEC，且$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，AD=2EF，EF∥AD．
（Ⅰ）求证：平面FCE⊥平面ADE；
（Ⅱ）若AD=2，求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥EC．AE⊥EC．推出EC⊥平面ADE，然后证明平面FCE⊥平面ADE．
（Ⅱ）说明AE⊥平面BCEF，通过V_ABCDEF=V_A-BCEF+V_D-AEC，转化求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥平面AEC，EC?平面AEC，∴AD⊥EC．
又$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，∴AC²=AE²+EC²，∴AE⊥EC．
又AE∩AD=A，∴EC⊥平面ADE．∵EC?平面FCE，
∴平面FCE⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：易知AE⊥AD，又EF∥AD，∴AE⊥EF，由（Ⅰ）知AE⊥EC，
又EF∩EC=E，∴AE⊥平面BCEF，
又AD=2，∴EF=1．
∴V_ABCDEF=V_A-BCEF+V_D-AEC
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（{EF+BC}）$×EC×EA+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AE$×EC×AD
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（{1+2}）$×$1×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×1×2
=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．