Question

2．已知数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列，记其前n项和为S_n，试用a₁，d，n表示S_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可

解答 解：${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d，n∈{N^*}$．
下面用数学归纳法证明.1°．n=1时，左边=S₁=a₁，右边=a₁+$\frac{1×0}{2}$d=a₁，等式成立．
2°．假设n=k时，等式成立，即S_k=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d，
当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d+a₁+kd
=$（k+1）{a_1}+\frac{k（k-1）+2k}{2}d$，=$（k+1）{a_1}+\frac{（k+1）[（k+1）-1]}{2}d$，
即n=k+1时，等式成立．
综合1°，2°知，对于任意的正整数n，都有S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d成立．

点评 本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立