Question

14．已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值以及此时的x的取值范围；
（Ⅱ）若实数p，q，r满足p²+2q²+r²=m，证明：q（p+r）≤2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式，求出m的值，当且仅当（x+3）（x-1）≤0，即可求出此时的x的取值范围；
（Ⅱ）利用（p²+q²）+（q²+r²）=4≥2pq+2qr，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：依题意，得f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4，故m的值为4．
当且仅当（x+3）（x-1）≤0，即-3≤x≤1时等号成立，即x的取值范围为[-3，1]．
（Ⅱ）证明：因为p²+2q²+r²=m，故（p²+q²）+（q²+r²）=4．
因为p²+q²≥2pq，当且仅当p=q时等号成立，q²+r²≥2qr，当且仅当q=r时等号成立，
所以（p²+q²）+（q²+r²）=4≥2pq+2qr，故q（p+r）≤2，当且仅当p=q=r时等号成立．

点评 本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．