Question

19．设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记$\frac{{{D_1}P}}{{{D_1}B}}$=λ．当∠APC为锐角时，λ的取值范围是$[{0，\frac{1}{3}}）$．

Answer 1

分析 ∠APC为锐角等价于cos∠APC＞0，等价于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＞0，根据向量数量积的坐标运算即可．

解答 解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（λ，λ，-λ），
所以$\overrightarrow{PA}$=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），
$\overrightarrow{PC}$=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1），
所以∠APC为锐角等价于cos∠APC＞0，
则等价于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＞0，
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＞0，
∵0≤λ＜1，∴，0≤λ＜$\frac{1}{3}$
因此，λ的取值范围是$[{0，\frac{1}{3}}）$，
故答案为$[{0，\frac{1}{3}}）$．

点评 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．