Question

7．已知单位向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1$，对$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$两边平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$得：
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=3（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3（{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}）$，且$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$；
∴$1-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=3（1+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1）$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．