Question

14．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：$f（x）-f（y）=f（{\frac{x-y}{1-xy}}）$，当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$．设$m=f（{\frac{1}{5}}）+f（{\frac{1}{11}}）+…+f（{\frac{1}{{{n^2}+n-1}}}），\;\;n≥2，n∈{N^*}$，则实数m与-1的大小关系为（　　）

• A． m＜-1
• B． m=-1
• C． m＞-1
• D． 不确定

Answer 1

分析 化简可得f（x）在（-1，1）为奇函数，由当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$，从而可得在x∈（0，1）时f（x）＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{1}{n（n+1）-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n（n+1）}}$）=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），从而利用裂项求和法求得m与-1的大小．

解答 解：∵函数f（x）满足：$f（x）-f（y）=f（{\frac{x-y}{1-xy}}）$，
令x=y=0得f（0）=0；
令x=0得-f（y）=f（-y）．
∴f（x）在（-1，1）为奇函数，
由当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$，
则在x∈（0，1）时f（x）＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{1}{n（n+1）-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n（n+1）}}$）
=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），
∴m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）
=[f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）]+[f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{4}$）]+…+[f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）]
=f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）=-1-f（$\frac{1}{n+1}$）＞-1，
即m＞-1．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性及运用，考查学生的化简运算能力及转化思想的应用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属于综合题．