Question

4．若曲线f（x，y）=0上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为（　　）
①y=x²-|x|+1； ②y=sinx-4cosx；  ③$y=x+\frac{1}{x}$；  ④$|x|+1=\sqrt{4-{y^2}}$．

• A． ②③
• B． ①②
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．

解答 解：①、y=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$ 处的切线都是y=$\frac{3}{4}$，故有自公切线．
②、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，
此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
 ③、$y=x+\frac{1}{x}$为对勾函数，分别位于一三象限，图象关于原点对称且导数为
y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（-∞，-1），（1，+∞）递增，（-1，0），（0，1）递减，存在平行的切线，不存在自公切线；
④、由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故选：B．

点评 本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．