Question

13．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于点O，连结EO，由已知可得EO∥PB，然后利用线面平行的判定可得PB∥平面AEC；
（2）由PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，可得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$ 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，再由三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$求得AB，得到A，D，B，E，C的坐标，然后求出平面ACE与平面DAE的法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角D-AE-C的大小．

解答 （1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO，
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点，
又E为的PD的中点，∴EO∥PB，
EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
∴AB，AD，AP两两垂直，
如图，以A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$ 的方向为x轴的正方向，
建立空间直角坐标系A-xyz，
∵AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴三棱锥P-ABD的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB•AD•AP=\frac{\sqrt{3}}{4}$，得$AB=\frac{3}{2}$．
则A（0，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0，0），E（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$），C （$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$，0）
设$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$为平面ACE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\ \frac{3}{2}x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令x=1，得$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$z=\frac{3}{2}$，则$\overrightarrow{m}$=（1，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
又$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$为平面DAE的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}}=\frac{1}{2}$，
如图可得二面角D-AE-C为锐角，∴二面角D-AE-C为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．