Question

19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为$y=\frac{240v}{{{v^2}+20v+1600}}（{v＞0}）$．
（I）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/h，则汽车在平均速度应在什么范围内？
（II）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

Answer 1

分析 （I）由条件得$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$＞2，解不等式即可求出v的范围．
（II）根据基本不等式性质可知 y=$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$=$\frac{240}{v+\frac{1600}{v}+20}$，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．

解答 解：（I）由条件得$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$＞2，
整理得到（v-20）（v-80）＜0，解得20＜v＜80．
（II）由题知，y=$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$=$\frac{240}{v+\frac{1600}{v}+20}$≤2.4．
当且仅当v=$\frac{1600}{v}$即v=40时等号成立．
所以最大车流量为2.4千辆/h．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．