Question

4．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于b，c的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=x²-ax+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得，f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0），
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．