Question

7．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$，g（x）=1-x$+\frac{{x}^{2}}{2}$$-\frac{{x}^{3}}{3}$，设函数F（x）=f（x）•g（x），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为3．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）零点的范围，；通过讨论x的范围，求出g（x）在R的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x）所在的零点的范围，F （ x） 的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．

解答 解：∵f′（x）=1-x+x²＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（-1）＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点；
又∵g′（x）=-1+x-x²＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1＞0，g（2）=＜0，
∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，
函数F（x）=f（x）?g（x），且函数 F （ x） 的零点在区间（-1，2）内，
则 b-a 的最小值为：3
故答案为：3

点评 本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．