Question

19．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），如图所示
（1）求f（x）的解析式
（2）若方程f（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一个实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象可以直接得到A，$\frac{3}{4}$T，代入周期公式求得ω，然后再由五点作图的第一个点可得φ得值，则函数的解析式可求．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，数形结合可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由图可知，A=2，$\frac{3}{4}$T=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{3π}{4}$，
∴T=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2．
由五点作图的第一个点可得：2×（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函数的解析式为y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
在坐标系中画出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象与y=m的图象，图象只有一个交点，
由图可得：m=2或m∈[-1，1）．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查数形结合求出函数的图象的交点与方程的根的关系，考查计算能力，是中档题．