Question

17．若函数f（x）=（x+1）²-alnx在区间（0，+∞）内任取有两个不相等的实数x₁，x₂，不等式$\frac{{f（{{x_1}+1}）-f（{{x_2}+1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，-3]

Answer 1

分析 由条件可知f′（x）＞1在（1，+∞）上恒成立，分离参数得a＜2x（x+1）-1，求出函数的最小值即可得出a的范围．

解答 解：∵$\frac{{f（{{x_1}+1}）-f（{{x_2}+1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，
∴f′（x）=2（x+1）-$\frac{a}{x}$＞1在（1，+∞）上恒成立，
∴a＜2x（x+1）-x=2x²+x在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²+x，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，
∴g（x）＞g（1）=3，
∴a≤3．
故选C．

点评 本题考查了函数的恒成立问题研究，函数最值得计算，属于中档题．