Question

2．如图，在直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，二面角A-A₁B-C是直二面角，AB=BC═2，点M是棱CC₁的中点，三棱锥M-BCA₁的体积为1．
（I ）证明：BC丄平面ABA₁
（II）求直线MB与平面BCA₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过A在平面ABA₁内作AH⊥A₁B，垂足为H，
只需证明AH丄CB，BC⊥AA₁，即可证得AH∩AA₁=A，得BC丄平面ABA₁ 
（Ⅱ）棱锥M-BCA₁的体积为1，由（1）得AB⊥面BCM，
由VA₁-BCM=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{s}_{△BCM}×AB=1$，解得CC₁，
 以B为原点，如图建立空间直角坐标系
则 M（2，O，$\frac{3}{2}$），C（2，0，0），A₁（0，2，3），
利用向量求解．

解答 （Ⅰ）证明：过A在平面ABA₁内作AH⊥A₁B，垂足为H，
∵二面角A-A₁B-C是直二面角，且二面角A-A₁B-C的棱为A₁B．
∴AH丄平面CBA₁，∴直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中有BC⊥AA₁，且AH∩AA₁=A，
∴BC丄平面ABA₁ 
（Ⅱ）解，∵棱锥M-BCA₁的体积为1，由（1）得AB⊥面BCM，
∴VA₁-BCM=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{s}_{△BCM}×AB=1$，解得CM=$\frac{3}{2}$，即CC₁=3，
  以B为原点，如图建立空间直角坐标系
则 M（2，O，$\frac{3}{2}$），C（2，0，0），A₁（0，2，3），
$\overrightarrow{BM}=（2，0，\frac{3}{2}），\overrightarrow{BC}=（2，0，0），\overrightarrow{B{A}_{1}}=（0，2，3）$，
设平面BCA₁的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2y+3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（0，-3，2）$.$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞=\frac{3}{\sqrt{4+\frac{9}{4}}×\sqrt{9+2}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{65}$．
∴直线MB与平面BCA₁所成角的正弦值为$\frac{6\sqrt{13}}{65}$．

点评 本题考查了空间线面垂直判定，向量法求线面角，属于中档题．