Question

10．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，目标函数z=3x+y，若a=1，则z的最小值为2；若z的最大值为5，则实数a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 首先把a=1代入约束条件，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得z的最小值；再由题意可得a＞0，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得z的最大值，由此求得a值．

解答 解：若a=1，则不等式组为$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，画出可行域如图：

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（1，-1）．
化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；
要使约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$表示的可行域存在，且目标函数z=3x+y有最大值，则a＞0．
作出可行域如图：

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{ax+y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{a}$，-1），
化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{15}{a}-1=5$，得a=$\frac{5}{2}$．
故答案为：2；$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．