Question

18．已知函数y=|sin²x-4sinx-a|的最大值为4，则常数a=1．

Answer 1

分析 令t=sinx（-1≤t≤1），可得y=|t²-4t-a|=|（t-2）²-4-a|，可令f（t）=（t-2）²-4-a，（-1≤t≤1），求出f（t）的最值，讨论最值的符号，即可得到所求最大值，解方程即可判断a的值．

解答 解：令t=sinx（-1≤t≤1），
可得y=|t²-4t-a|=|（t-2）²-4-a|，
可令f（t）=（t-2）²-4-a，（-1≤t≤1），
可得f（t）在[-1，1]递减，
即有f（t）的最大值为f（-1）=5-a，
最小值为f（1）=-3-a，
若-3-a≥0，即a≤-3，
由题意可得5-a=4，解得a=1，不成立；
若-3-a＜0，即a＞-3，
再若5-a＞0即a＜5，即有-3＜a＜5，
由题意可得a+3=4或5-a=4，解得a=1成立；
再若5-a≤0，即有a≥5，
由题意可得a+3=4，解得a=1，不成立．
综上可得a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查已知函数的最值，求参数，注意运用换元法，以及正弦函数的值域，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．