Question

1．已知函数f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=（lg 2）²+lg 2lg 5+lg 5-$\frac{1}{4}$，判断λ与E的关系；
（3）当x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由函数奇偶性的性质建立方程$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，解可得a的值；
（2）由（1）可得a的值，即可得函数的解析式，由此可得集合E，由对数的运算性质计算可得λ的值，分析可得答案；
（3）由（1）可得函数的解析式，进而可以断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$，则f（-x）=$\frac{[（-x）+1][（-x）+a]}{（-x）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
又由函数f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），
即$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
解可得a=-1；
（2）由（1）可得a=-1，则f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
则有f（1）=f（-1）=0，f（2）=$\frac{3}{4}$，
则集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，$\frac{3}{4}$}，
λ=（lg 2）²+lg 2lg 5+lg 5-$\frac{1}{4}$=lg2（lg2+lg5）+lg5-$\frac{1}{4}$=lg2+lg5-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
则有λ∈E；
（3）由（1）可得a=-1，则f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，则函数在（0，+∞）为增函数，
若当x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
则有$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{m}）=1-{m}^{2}=2-3m}\\{f（\frac{1}{n}）=1-{n}^{2}=2-3n}\end{array}\right.$，
解可得m=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
又由$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{n}$且m＞0，n＞0，则有0＜n＜m，
则m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的性质，涉及对数的运算，关键要先求出a的值，确定函数的解析式．