Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，（n≥3）
（Ⅰ）证明数列{a_n-3a_n-1}成等比数列，并求数{a_n}列的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列b_n=$\frac{2n-1}{7}$（a_n+1+a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）变形为a_n+λa_n-1=m（a_n-1+λa_n-2）形式计算可求．
（Ⅱ）b_n=$\frac{2n-1}{7}$（a_n+1+a_n）=（2n-1）×3^n-1，再利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
又∵a₂+a₁=2+5=7，
∴数列{a_n+1+a_n}是以7为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1；
∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
又∵a₂-3a₁=2-3•5=-13，
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-13为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-13•（-1）^n-1；
∴a_n=$\frac{13}{4}$×（-1）^n-1+$\frac{7}{4}$×3^n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得a_n+1+a_n=7•3^n-1，
∴b_n=$\frac{2n-1}{7}$（a_n+1+a_n）=（2n-1）×3^n-1，
∴S_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1，
∴3S_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3¹+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ=1+2×$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）×3ⁿ=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ+1

点评 本题考查数列的通项和前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题