Question

15．数列{a_n}满足${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={3^{n+1}}$，则数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\left\{\begin{array}{l}9（{n=1}）\\{6^n}\;\;（{n≥2}）\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据题意，当n=1时求出a₁，当n≥2时，再写出a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$=3ⁿ，相减可得数列的a_n，再验证，即可求出数列的通项公式．

解答 解：∵${a_1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2^2}+…+\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}={3^{n+1}}$，①，
当n=1时，a₁=9，
当n≥2时，
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$=3ⁿ，②，
由①-②可得，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=6ⁿ，
验证，n=1时，a₁=6≠9，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{{6}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}9（{n=1}）\\{6^n}\;\;（{n≥2}）\end{array}\right.$

点评 本题考查了数列的递推公式，以及数列的通项公式，考查了学生的运算能力，属于中档题