Question

5．已知曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$ （α为参数），A是C₁上的动点，B点满足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，O为坐标原点，B点的轨迹为曲线C₂
（1）求C₂的参数方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{6}$与C₁的异于极点的交点为M，与C₂的异于极点的交点为N，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）设B（x，y），B点满足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，A（$\frac{x}{4}$，$\frac{y}{4}$），代入曲线C₁的参数方程，可得曲线C₂的参数方程．
（2）曲线C₁的参数方程，利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得极坐标方程．同理可得曲线C₂的极坐标方程．把射线θ=$\frac{π}{6}$分别代入上述两个极坐标方程可得：ρ₁=|OA|，ρ₂=|OB|．即可得出|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）设B（x，y），∵B点满足$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OA}$，∴A（$\frac{x}{4}$，$\frac{y}{4}$），
代入曲线C₁的参数方程，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12+12cosα}\\{y=12sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），即为C₂的参数方程．
（2）曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：（x-3）²+y²=9，
化为极坐标方程：ρ²-6ρcosθ=0，即ρ=6cosθ．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=12+12cosα}\\{y=12sinα}\end{array}\right.$，可得普通方程：（x-12）²+y²=144，
化为极坐标方程：ρ²-24ρcosθ=0，即ρ=24cosθ．
把射线θ=$\frac{π}{6}$分别代入上述两个极坐标方程可得：
ρ₁=6cos$\frac{π}{6}$=3$\sqrt{3}$=|OA|，ρ₂=24cos$\frac{π}{6}$=12$\sqrt{3}$=|OB|．
∴|AB|=|OB|-|OA|=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．