Question

20．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b²，a²，c²成等差数列．
（1）求cosA的最小值；
（2）若a=2，当A最大时，△ABC面积的最大值？

Answer 1

分析 （1）由已知利用等差数列的性质可得${a^2}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{2}$，利用余弦定理，基本不等式可求cosA最小值为$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，且b²+c²=2a²=8≥2bc，可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵b²，a²，c²成等差数列，
∴2a²=b²+c²，
∴${a^2}=\frac{{{b^2}+{c^2}}}{2}$，
又∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{2bc}{4bc}$=$\frac{1}{2}$（当且仅当b=c时等号成立），即cosA最小值为$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，且b²+c²=2a²=8≥2bc，
∴bc≤4，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（其他方法合理即可）

点评 本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．