Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：4a=8，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．

解答 解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，
由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则b²=3．
∴椭圆C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．又A，B两点在椭圆C上，
∴$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{x_0}^2}}{3}=1，{x_0}^2=\frac{12}{7}$，
∴点O到直线AB的距离$d=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得：（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴$（{{k^2}+1}）\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{3+4{k^2}}}+{m^2}=0$．
∴7m²=12（k²+1），满足△＞0．
∴点O到直线AB的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$为定值．
综上可知：点O到直线AB的距离d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．