Question

2．设a，b∈（-∞，0），则$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{a}$（　　）

• A． 都不大于-2
• B． 都不小于-2
• C． 至少有一个不大于-2
• D． 至少有一个不小于-2

Answer 1

分析 利用反证法证明，假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{a}$都大于-2，然后找出矛盾，从而得到结论．

解答 解：假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{a}$都大于-2，
即a+$\frac{1}{b}$＞-2，b+$\frac{1}{a}$＞-2，
将两式相加，得a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$＞-4，
又因为a+$\frac{1}{a}$≤-2，b+$\frac{1}{b}$≤-2，
两式相加，得a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$≤-4，与a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{a}$＞-4，矛盾
所以$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{a}$至少有一个不大于-2．
故选C．

点评 本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．