Question

16．函数f（x）=（x-3）e^x在（0，+∞）上的零点个数是1．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到导函数的零点，进一步求得极值点，由极小值小于0，f（0）＜0，且当x→+∞时，f（x）→+∞可得函数f（x）=（x-3）e^x在（0，+∞）上的零点个数．

解答 解：由f（x）=（x-3）e^x，得f′（x）=（x-2）e^x，
由f′（x）=0，得x=2，
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
则f（x）在（0，+∞）上的极小值也就是最小值为f（2）=-e²＜0，而f（0）=-3＜0，且当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）=（x-3）e^x在（0，+∞）上的零点个数是1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数零点的判定，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．