Question

1．已知f（x）=（kx+b）•e^x，且曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x-1）．
（Ⅰ）求k与b的值；
（Ⅱ）求${∫}_{0}^{1}$（x•e^x）dx．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再根据题意可得f′（1）=e，f（1）=0，解得即可，
（Ⅱ）结合（Ⅰ）根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=（kx+b）•e^x，
所以f′（x）=（kx+k+b）e^x，
依题意：f′（1）=e，f（1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2k+b）e=e}\\{（k+b）e=0}\end{array}\right.$解得k=1，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-1）•e^x，
f'（x）=x•e^x，
所以$\int_0^1{（x•{e^x}）dx=\left.{（x-1）•{e^x}}\right|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}$=0+1=1．

点评 本题主要考查导数的几何意义和定积分的计算，属于基础题．