Question

4．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为m与p，且乙投球3次均未命中的概率为$\frac{1}{64}$，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B；相互独立事件的概率公式求出乙投球的命中率；
（Ⅱ）由题设知甲投球的命中率，得出ξ可能的取值，计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望．

解答 解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B；
（Ⅰ）由题意得：${（1-P（B））^3}={（1-p）^3}=\frac{1}{64}$，
解得$p=\frac{3}{4}$，
所以乙投球的命中率为$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，甲投球的命中率为$\frac{1}{2}$，
则有$P（A）=\frac{1}{2}$，$P（\overline A）=\frac{1}{2}$，$P（B）=\frac{3}{4}$，$P（\overline B）=\frac{1}{4}$，
ξ可能的取值为0，1，2，3，
故$P（ξ=0）=P（\overline A）P（\overline B\overline B）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{1}{32}$，
$P（ξ=1）=P（A）P（\overline B\overline B）+C_2^1P（B）P（\overline B）P（\overline A）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{4}）^2}+2×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{7}{32}$，
$P（ξ=3）=P（A）P（BB）=\frac{1}{2}×{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{9}{32}$，
$P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=\frac{5}{32}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{9}{32}$

ξ的数学期望为$E（ξ）=0×\frac{1}{32}+1×\frac{7}{32}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{9}{32}=2$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．