Question

5．已知函数$f（x）=x{e^x}-\frac{m}{2}{x^2}-mx$，则函数f（x）在[1，2]上的最小值不可能为（　　）

• A． $e-\frac{3}{2}m$
• B． $-\frac{1}{2}m{ln^2}m$
• C． 2e²-4m
• D． e²-2m

Answer 1

分析 f′（x）=e^x+xe^x-m（x+1）=（x+1）（me^x-1）．对a分类讨论：当m≤$\frac{1}{e}$时，当e＞m＞$\frac{1}{e}$时，当m≥e时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x-m（x+1）=（x+1）（me^x-1），
①当m≤$\frac{1}{e}$时，e^x-m＞0，由x≥-1，可得f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=e-$\frac{3}{2}$m．
②当m≥e时，e^x-m≤0，由x≥-1，可得f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=2e²-4m．
③当e＞m＞$\frac{1}{e}$时，由e^x-m=0，解得x=lnm．
当-1≤x＜lnm时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当lnm＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=lnm时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（lnm）=-$\frac{m}{2}l{n}^{2}m$．
 故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．