Question

15．在△ABC 中，a、b、c分别为内角 A、B、C 的对边，bsin A=（3b-c）sinB
（1）若2sin A=3sin B，且△ABC的周长为8，求c
（2）若△ABC为等腰三角形，求cos 2B．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求a+c=3b，2a=3b，联立即可解得c的值．
（2）由已知分类讨论可求a=c，由a+c=3b，可得b=$\frac{2}{3}$a，利用余弦定理可求cosB，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵bsin A=（3b-c）sinB，可得：ab=（3b-c）b，…2分
∴a=3b-c，即a+c=3b，…3分
∵2sinA=3sinB，
∴2a=3b，
∴a+b+c=4b=8，可得：b=2，解得a=c=3，…6分
（2）若a=b，则c=2b，
∴a+b=c，与三角形两边之和大于第三边矛盾，故a≠b，同理可得c≠b，…8分
∴a=c，
∵a+c=3b，可得b=$\frac{2}{3}$a，…9分
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2{a}^{2}-（\frac{2a}{3}）^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，…11分
∴cos2B=2cos²B-1=$\frac{17}{81}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了方程思想和分类讨论思想，属于中档题．