Question

7．已知函数f（x）=sin²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{8}$，1）
• C． （$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{8}$，$\frac{5}{4}$）
• D． （$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{8}$，+∞）

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用零点求出x的值，然后利用特殊值排除选项推出结果即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1-cosωx}{2}+\frac{sinωx}{2}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin （ωx-$\frac{π}{4}$），由f（x）=0，可得 x=$\frac{（4k+1）π}{4ω}$（k∈Z），
令ω=2得函数f（x）有一零点x=$\frac{9π}{8}$∈（π，2π），排除（B）、（C），
令$ω=\frac{3}{8}$得函数f（x）在（0，+∞）上的零点从小到大为：x₁=$\frac{2π}{3}$，x₂$\frac{10π}{3}$，…
显然x₁∉（π，2π），x₂∉（π，2π），可排除（A），
故选：D．

点评 本题考查函数的零点的判断与应用，三角函数的化简求值，考查转化思想．