Question

18．如图，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF，且∠DAF=90°．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）过O作OH⊥平面BEF，垂足为H，求三棱锥A-BCH的体积．

Answer 1

分析 （1）连结EO，推导出四连形DEOA是平行四边形，从而DA∥EO，推导出EO⊥平面ABFC，从而EO⊥AF，由正方形性质得AF⊥BC，从而AF⊥平面BCE，由此能证明DE⊥平面BCE．
（2）取BF的中点G，连结OG，则OG⊥BF，连结EG，过O作OM⊥EG于M，三棱锥A-BCH的体积V_A-BCH=V_H-ABC，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结EO，∵AF=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴DE$\underset{∥}{=}$AD，∴四连形DEOA是平行四边形，∴DA∥EO，
∵平面DAFE⊥平面ABFC，且平面DAFE∩平面ABFC=AF，
∠DAF=90°，∴DA⊥平面ABFC，∴EO⊥平面ABFC，
∵AF?平面ABFC，∴EO⊥AF，
在正方形ABFC中，∵AF⊥BC，EO∩BC=O，∴AF⊥平面BCE，
∵DE∥AF，∴DE⊥平面BCE．
解：（2）取BF的中点G，连结OG，则OG⊥BF，连结EG，过O作OM⊥EG于M，
∵EO⊥平面BOF，∴EO⊥BF，∴BF⊥平面EOG，
∴BF⊥OM，∴OM⊥平面BEF，∴H与M重合，
在Rt△EOG中，EO=2，OG=1，EG=$\sqrt{5}$，
由OG²=HG×EG，得HG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴HG=$\frac{1}{5}EG$，
过H作HK⊥OG，垂足为K，则HK⊥平面ABF，交OG于K，则HK∥EO，
且HK=$\frac{1}{5}EO$=$\frac{2}{5}$，
∴三棱锥A-BCH的体积V_A-BCH=V_H-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{4}{15}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．