Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）+3，-2＜x≤-1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x＞-1}\end{array}\right.$且f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （2，4）
• B． （4，14）
• C． （2，14）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$（x+2）²，利用导数法可得函数在定义域（-2，+∞）上为减函数，进而结合f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，得到实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）+3，-2＜x≤-1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x＞-1}\end{array}\right.$在定义域（-2，+∞）上为减函数，
由2a＞-2，且12-a＞-2得：a∈（-1，14），
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$（x+2）²=$\left\{\begin{array}{l}ln（-x）-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1，-2＜x≤-1\\-\frac{3}{2}{x}^{2}-4x-1，x＞-1\end{array}\right.$，
则g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-x-2，-2＜x≤-1\\-3x-4，x＞-1\end{array}\right.$＜0恒成立，
故g（x）为减函数，
若f（2a）-$\frac{1}{2}$（2a+2）²＜f（12-a）-$\frac{1}{2}$（14-a）²，
则2a＞12-a，
解得：a＞4，
综上可得：a∈（4，14），
故选：B

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，分段函数的应用，难度中档．