Question

3．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（Ⅰ）求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）．问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少，该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）我们设该厂每x（x∈N₊）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₁元，由已知中该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元．我们求出y₁的解析式，然后利用基本不等式，即可求出y₁取最小值时的n值；
（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n天（n≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₂元，我们计算y₂的解析式，进而根据基本不等式求出y₂的最小值，与（Ⅰ）中所得y₁的最小值比较后，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）设该场每x（x∈N₊）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₁元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
所以x天饲料的保管费用共是6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x²-3x（元）．               …（2分）
从而有${y_1}=\frac{1}{x}（3{x^2}-3x+300）+200×1.8=\frac{300}{x}+3x+357$．…（3分）
因为${y_1}=\frac{300}{x}+3x+357≥417$，…（4分）
当且仅当$\frac{300}{x}$=3x，即x=10时，y₁有最小值．
故该养殖场每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．   …（5分）
（Ⅱ） 设该场利用此优惠条件，每隔x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y₂，
则${y_2}=\frac{1}{x}（3{x^2}-3x+300）+200×1.8×0.85=\frac{300}{x}+3x+303$．          …（6分）
因一次购买饲料5吨，够用天数为25，所以x≥25．                   …（8分）
令f（x）=$\frac{300}{x}$+3x（x≥25）．
因为$f'（x）=-\frac{300}{x^2}+3=\frac{3（x-10）（x+10）}{x^2}$，…（9分）
所以当x≥25时，y₂′＞0，即函数y₂在[25，+∞）上是增函数…（10分）
∴当x=25时，y₂取得最小值390
∵390＜417，故该厂应该利用此优惠条件．             …（12分）

点评 考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及导数在最值问题中的应用．属于中档题．