Question

5．已知函数f（x）=mlnx-x²+2（m≤8）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率大于-2时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）-f′（x）≤4x-3对x∈[1，+∞）恒成立，求m的取值范围．（提示：ln2≈0.7）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据导函数的范围求出m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=mlnx-x²+2-$\frac{m}{x}$+2x-4x+3=mlnx-x²-2x-$\frac{m}{x}$+5，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求得2≤m≤8．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{m}{x}$-2x，f′（1）=m-2＞-2，解得：m＞0，
故m∈（0，8]，
f′（x）=$\frac{m-{2x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）递增，在（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞）递减；
（2）令g（x）=mlnx-x²+2-$\frac{m}{x}$+2x-4x+3=mlnx-x²-2x-$\frac{m}{x}$+5，
则g′（x）=$\frac{m}{x}$-2x-2+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（m-{2x}^{2}）}{{x}^{2}}$①，
当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x≥1，g（x）≤g（1），
故只需g（1）≤0，即-1-2-m+5≤0，即m≥2，所以m=2，
②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得x=±$\sqrt{\frac{m}{2}}$
当1＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以当x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g（x）取得最大值．
故只需g（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）≤0，即mln$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{2}$-2$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{\sqrt{\frac{m}{2}}}$+5≤0，
令h（x）=xlnx-x-4$\sqrt{x}$+5，则h′（x）=1+lnx-1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$=lnx-$\frac{2}{\sqrt{x}}$，h″（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x\sqrt{x}}$＞0，
所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h′（1）=-2＜0，h′（4）=ln4-1＞0，以?x₀∈（1，4），h′（x₀）=0，
所以h（x）在（1，x₀）上单调递减，
在（x₀，4）上递增，而h（1）=-1-4+5=0，h（4）=4ln4-4-8+5=8ln2-7＜0，
所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，
所以当2＜m≤8时，mln$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{2}$-2$\sqrt{\frac{m}{2}}$-$\frac{m}{\sqrt{\frac{m}{2}}}$+5≤0，
综上所述，2≤m≤8．

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调区间的应用，考查构造法的应用，分析问题解决问题的能力．