Question

3．已知函数f（x）=|lnx|，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}0\\|{{x^2}-4}|-2\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜x≤1}）\\（{x＞1}）\end{array}$则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为（　　）

• A． 2个
• B． 4个
• C． 6个
• D． 8个

Answer 1

分析 对x分类讨论：当0＜x≤1时，显然可知有一实根$\frac{1}{e}$；当x＞1时，方程可化为|x²-4|=1-lnx或|x²-4|=3-lnx，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题，利用数形结合思想判断即可得到答案．

解答 解：当0＜x≤1时，
f（x）=-lnx，g（x）=0，
∴|f（x）+g（x）|=|-lnx|=1有一实根$\frac{1}{e}$；
当x＞1时，
f（x）=lnx，g（x）=|x²-4|-2，
∴|f（x）+g（x）|=|lnx+g（x）|=1，
∴|x²-4|=1-lnx或|x²-4|=3-lnx，
分别画出函数的图象如图：
由图可知共有3个交点，
故实根的个数为4个，
故选：B．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，利用数形结合思想解决问题是关键，是中档题．