Question

1．已知四棱锥A-BCDE中，侧面△ABC为等边三角形，BE=AB，CD=2AB，CD∥BE，且CD⊥平面ABC，F为棱AD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（3）若等边△ABC的边长为a，求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC中点G，连接FG，BG，推导出FGBE为平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．
（2）推导出BG⊥AG，CD⊥BG，从而BG⊥面ADC，进而EF⊥面ADC，由此能证明面ADE⊥面ADC．
（3）取BC的中点M，连接AM，推导出AM为四棱锥A-BCDE的高，由此能求出四棱锥A-BCDE的体积．

解答 证明：（1）取AC中点G，连接FG，BG，
∵F，G分别是AD，AB的中点，
∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD$，
∵BE∥CD，∴FG与BE平行且相等，∴FGBE为平行四边形，
∴EF∥BG．又EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AG，
又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，CD，
∴BG⊥面ADC，∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（3）取BC的中点M，连接AM，
∵△ABC为等边三角形，∴AM⊥BC，
又AM⊥CD，AM⊥平面BCDE，故AM为四棱锥A-BCDE的高，
∵AB=a，∴$AM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又${S_{BCDE}}=\frac{a+2a}{2}×a=\frac{3}{2}{a^2}$，
∴${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}{a^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^3}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．