Question

12．设函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-2\sqrt{3}{cos^2}$x+1
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，求得f（x）的最小正周期及其图象的对称中心．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+1=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
所以f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函数的图象对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，1）（k∈Z）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，以及它的图象的对称性，属于中档题．