Question

13．在△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若$\sqrt{5}$b=4c，B=2C．
（1）求cosB；
（2）若c=5，点D为BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （1）由B=2C，推导出cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{b}{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由此能求出cosB．
（2）由题意得，b=4$\sqrt{5}$，由余弦定理得a=11，从嘏求出DC=5，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出△ADC的面积．

解答 解：（1）因为B=2C，所以有sinB=sin2C=2sinCcosC．
从而cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{b}{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{8}{5}-1$=$\frac{3}{5}$．
（2）由题意得，b=4$\sqrt{5}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB．
即80=${a}^{2}+{5}^{2}-2×5×\frac{3}{5}a$，化简得a²-6a-55=0，
解得a=11或a=-5（舍去）．
从而DC=5，又cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则sinC=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
所以△ADC的面积${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×DC×AC×sinC$=10．

点评 本题考查三角形内角的余弦值、三角形面积、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．