Question

4．如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，$EB=2FD=\sqrt{2}a$．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥E-FAC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO，能求出三棱锥E-FAC的体积．

解答 证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为FD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥FD．
因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．
因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．
所以B，D，F，E四点共面．
因为EF?平面BDFE，所以EF⊥AC．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．
由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，
所以AC⊥平面FEO．
因为平面FEO将三棱锥E-FAC分为两个三棱锥A-FEO和C-FEO，
所以V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO．
因为正方形ABCD的边长为a，$EB=2FD=\sqrt{2}a$，
所以$FO=\sqrt{F{D^2}+O{D^2}}=a$，$EO=\sqrt{E{B^2}+O{B^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．
取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=$\sqrt{D{B^2}+B{G^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．
所以等腰三角形FEO的面积为${S_{△FEO}}=\frac{1}{2}a\sqrt{{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}a}）}^2}-{{（{\frac{1}{2}a}）}^2}}$=$\frac{3}{4}{a^2}$．
所以V_E-FAC=V_A-FEO+V_C-FEO=$\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×AO+\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×CO$=$\frac{1}{3}{S_{△FEO}}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}{a^2}×\sqrt{2}a$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$．
所以三棱锥E-FAC的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．