Question

3．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞2（x+$\sqrt{x}$）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则下列不等式中，一定成立的是（　　）

• A． f（1）＞$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（3）}{3}$
• B． $\frac{f（1）}{2}$＞$\frac{f（4）}{3}$＞$\frac{f（9）}{4}$
• C． f（1）＜$\frac{f（2）}{2}$＜$\frac{f（3）}{3}$
• D． $\frac{f（1）}{2}$＜$\frac{f（4）}{3}$＜$\frac{f（9）}{4}$

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$，再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数g（x）的单调性即可得出正确选项．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）•（\sqrt{x}+1）-f（x）•\frac{1}{2\sqrt{x}}}{（\sqrt{x}+1）^{2}}$=$\frac{2（x+\sqrt{x}）f′（x）-f（x）}{2\sqrt{2}x•（\sqrt{x}+1）^{2}}$，
∵在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞2（x+$\sqrt{x}$）f′（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$在（0，+∞）上单调递减，
∴g（1）＞g（4）＞g（9），
∴$\frac{f（1）}{1+1}$＞$\frac{f（4）}{2+1}$＞$\frac{f（9）}{3+1}$，
∴$\frac{f（1）}{2}$＞$\frac{f（4）}{3}$＞$\frac{f（9）}{4}$，
故选：B

点评 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．