Question

19．已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞a＞0）$上有一点$P（\sqrt{5}，m）$（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{{\frac{3}{2}}}-\frac{y^2}{{\frac{7}{2}}}=1$

Answer 1

分析 求得直线l的方程，求得A点坐标，求得|OA|，利用点到直线的距离公式，求得d，由|OA|•d=1，即可求得a和b的直线，求得双曲线的标准方程．

解答 解：由题意可知：在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，即c=$\sqrt{5}$，
由双曲线方程可得渐近线方程bx±ay=0，
由$P（\sqrt{5}，m）$（m＞0），设过P平行于bx+ay=0的直线为l，
则l的方程为：bx+ay-b$\sqrt{5}$-am=0，l与渐近线bx-ay=0交点为A，
则A（$\frac{b\sqrt{5}+am}{2b}$，$\frac{b\sqrt{5}+am}{2a}$），|OA|=|$\frac{b\sqrt{5}+am}{2}$|$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}}$，
P点到OA的距离是：d=$\frac{丨b\sqrt{5}-am丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{b\sqrt{5}+am}{2}$|$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}}$•$\frac{丨b\sqrt{5}-am丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
5b²-a²m²=2ab，
由P在双曲线上，5b²-a²m²=a²b²，
且a²+b²=5，
∴b=2，a=1，
∴双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故选A．

点评 本题考查双曲线标准方程，直线与椭圆的关系，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．