Question

4．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为M．直线FM交抛物线y²=-4cx于点N，若$\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $1+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 说明M是FN的中点．设抛物线的焦点为F₁，说明OM为△NF₂F₁的中位线．通过NF₂⊥NF₁，于是可得|NF|=2b，设P（x，y），推出 c-x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y²+4a²=4b²，然后求解离心率即可．

解答 解：∵若$\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，∴M是FN的中点．
设抛物线的焦点为F₁，则F₁为（-c，0），也是双曲线的焦点．
∵OM为△NF₂F₁的中位线．|OM|=a，∴|NF₁|=2 a．
∵OM⊥MF，
∴NF₂⊥NF₁，于是可得|NF|=2b，
设N（x，y），则 c-x=2a，
于是有x=c-2a，y²=-4c（c-2 a），过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．
由勾股定理得 y²+4a²=4b²，即-4c（c-2a）+4 a²=4（c²-a²），
变形可得c²-a²=ac，两边同除以a²
有 e²-e-1=0，所以e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，负值已经舍去．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．