Question

1．已知圆M：x²+（y-2）²=r²（r＞0）与曲线C：（y-2）（3x-4y+3）=0有三个不同的交点．
（1）求圆M的方程；
（2）已知点Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
①若$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求|MQ|及直线MQ的方程；
②求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）因为直线3x-4y+3=0与圆M相切，圆心（0，2）到直线的距离为r，即可求圆M的方程；
（2）①|AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，求出Q的坐标，即可求出直线MQ的方程；
②求出直线AB的方程，即可证明直线AB恒过定点．

解答 解：（1）因为直线3x-4y+3=0与圆M相切，
故圆心（0，2）到直线的距离为r，即：$\frac{{|{-8+3}|}}{5}=r$，r=1．
所以圆的方程为x²+（y-2）²=1．
（2）①设直线MQ，AB交于点P，则$|{AP}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
又|AM|=1，所以$|{MP}|=\sqrt{1-{{（{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）}^2}}=\frac{1}{3}$，
而|AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，
设Q（x₀，0），而点M（0，2），由$\sqrt{{x_0}^2+{2^2}}=3$，${x_0}=±\sqrt{5}$，
则$Q（{\sqrt{5}，0}）$或$Q（{-\sqrt{5}，0}）$，
从而直线MQ的方程为：$2x+\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或$2x-\sqrt{5}y+2\sqrt{5}=0$．
②证明：设点Q（q，0），由几何性质可以知道，A，B在以MQ为直径的圆上，
此圆的方程为x²+y²-qx-2y=0，AB为两圆的公共弦，
两圆方程相减得qx-2y+3=0，
即$AB：y=\frac{q}{2}x+\frac{3}{2}$，
所以过定点$（{0，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．