Question

5．函数$f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示，求：
（1）f（x）的表达式．
（2）f（x）的单调增区间．
（3）f（x）的最小值以及取得最小值时的x集合．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（3）利用正弦函数的最值，求得f（x）的最小值以及取得最小值时的x集合．

解答 解：（1）根据函数$f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象，
可得A=2，$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{12}$，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．
再根据五点法作图可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+-$\frac{π}{3}$，可得当x=kπ+-$\frac{π}{3}$，k∈Z 时，函数取得最小值为-2．
即f（x）的最小值为-2，取得最小值时的x集合为{x|x=kπ+-$\frac{π}{3}$，k∈Z }．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了正弦函数的单调性和最值，属于中档题．