Question

20．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；
（III）若PB与底面所成的角为60°，AB=2a，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，由题意可得OE∥AP，再由线面平行的判定可得PA∥平面BDE；
（Ⅱ）由PO⊥底面ABCD，得PO⊥BD，由已知可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）由题意可得∠PBO=60°，求解三角形可得E到面BCD的距离=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$a，然后代入棱锥体积公式可得三棱锥E-BCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接OE，
由已知知O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE．
∴PA∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE；
（Ⅲ）解：∵PB与底面所成的角为60⁰，且PO⊥底面ABCD，∴∠PBO=60°，
∵AB=2a，∴BO=$\sqrt{2}$a   PO=$\sqrt{6}$a，
∴E到面BCD的距离=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$a，
∴三棱锥E-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×2{a^2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}a=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{a^3}$．

点评 本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．