Question

15．已知△ABC，|AB|=8，AC与BC边所在直线的斜率之积为定值m，
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）当m=1时，过点E（0，1）的直线l与曲线C相交于P、Q两点，求P、Q两点的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）以AB边所在直线为x轴，以AB边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，利用AC与BC边所在直线的斜率之积为定值m，建立方程，即可求动点C的轨迹方程；
（2）分类讨论，联立方程组，即可求P、Q两点的中点M的轨迹方程．

解答 解：以AB边所在直线为x轴，以AB边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系
则A（-4，0），B（4，0）
（1）设点C的坐标为（x，y），则${k_{AC}}=\frac{y}{x+4}，{k_{BC}}=\frac{y}{x-4}$，
∴${k_{BC}}{k_{AC}}=\frac{y}{x-4}•\frac{y}{x+4}=\frac{y^2}{{{x^2}-16}}=m$，
即mx²-y²=16m----------------------------------------------------------------------------------（2分）
当m=0时，动点C的轨迹方程为y=0（x≠±4），
表示x轴所在直线去掉A、B两点剩下的部分--------------------------------------------（3分）
当m＞0时，动点C的轨迹方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16m}=1（x≠±4）$
表示焦点在x轴上的双曲线去掉A、B两点剩下的部-----------------------------------（4分）
当-1＜m＜0时，动点C的轨迹方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{-16m}=1（x≠±4）$
表示焦点在x轴上的椭圆去掉A、B两点剩下的部分-----------------------------------（5分）
当m＜-1时，动点C的轨迹方程为 $\frac{y^2}{-16m}+\frac{x^2}{16}=1（x≠±4）$
表示焦点在y轴上的椭圆去掉A、B两点剩下的部分------------------------------------（6分）
当m=-1时，动点C的轨迹方程为 x²+y²=16（x≠±4）
表示以AB为直径的圆去掉A、B两点剩下的部分---------------------------------------（7分）
（2）当m=1时，动点C的轨迹方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）$，--------------------（8分）
当直线l的斜率不存在时，显然不可能与$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）$有交点，舍去；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1（x≠±4）\\ y=kx+1\end{array}\right.$，
消去y得：（1-k²）x²-2kx-17=0
由题意得：x₁、x₂是此方程的解
所以${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}$∴${y_1}+{y_2}=（k{x_1}+1）+（k{x_2}+1）=\frac{2}{{1-{k^2}}}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{{1-{k^2}}}\\{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{{1-{k^2}}}\end{array}\right.$$\frac{x_0}{y_0}=k$，所以得$y_0^2-x_0^2-{y_0}=0$----------------------------（10分）
又直线l与动点C的轨迹方程有两个不同的焦点，
则$\left\{\begin{array}{l}△={（-2k）^2}+4×17（1-{k^2}）＞0\\ 1-{k^2}≠0\\{k^2}≠\frac{1}{16}\end{array}\right.$∴${k^2}＜\frac{17}{16}$且${k^2}≠\frac{1}{16}$且k²≠1，∴${y_0}≥1且{y_0}≠\frac{16}{15}$或y₀＜-16
所以P、Q两点的中点M的轨迹方程为${y^2}-{x^2}-y=0（y≥1且{y_{\;}}≠\frac{16}{15}$或y＜-16）-----------------------（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．